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                《廈門理工學院學報》  2020年第5期 93-96   出版日期:2020-10-30   ISSN:1673-4432   CN:35-1289/Z
                調和擬共形Bloch函數的性質


                調和函數與擬共形函數為復分析領域的兩個重要函數類,它們的研究對力學、工學等的發展有著重要意義。Bloch函數作為一類重要的工具類函數,對其他函數類的性質探究有重要的作用。1970年,Pommerenke [1]給出了Bloch函數的解析定義。1974年,Anderson等[2]得出Bloch函數的性質,進一步推動了對該類函數的研究。Bloch函數作為解析函數的一個子類,通過Bergman投影與有界函數緊密相關,還與BMOA空間存在著蘊含關系[3]。隨著時間的推移,Bloch函數研究呈現出新的動態。2008年,Pavlovic[4]給出了高維情形下(n≥2)Bloch函數空間的性質;2016 年,Efraimidis等[5] 將經典Bloch函數的定義推廣到調和映照空間,借助調和函數的解析表示方法,對調和Bloch函數的系數作出了估計。調和擬共形函數作為調和函數與擬共形函數的一個共同子空間,它的性質在一定程度上兼具兩者的優點,但目前鮮有此方面的研究。為此,本文將調和Bloch型函數的定義應用到調和擬共形函數,在給出調和擬共形Bloch函數定義的基礎上,給出調和擬共形函數的部分性質。 1預備知識 令D={z:|z|<1}表示復平面C上的單位圓盤, f(x)=u(x,y)+iv(x,y)為D上具有二階連續偏導的函數。若函數f(z)滿足Jf(z)=|fz|2-|fz|2>0, 則稱f(z)是保向的 反之, 則稱f(z)為反向的。 對于一個函數f(z), 若它滿足Δf(z)=fxx+fyy=4fzfz=0, 則稱f(z)為調和函數, 它可表示為f(z)=h(z)+g(z), 其中h(z)和g(z)都是D上的解析函數。Lewy[6]證明了單連通區域上的調和函數f(z)是局部單葉的當且僅當Jf(z)≠0。 設f為單位圓盤D到自身上的單葉保向映照, 若它滿足f∈ACL2(D), 且有不等式|f(z)|2≤KJf(z)在D上幾乎處處成立, 則稱f為D上的K擬共形映照[7], 其中, |f(z)|=|fz|+|fz|。 令f∈C2, 且滿足 β(f)=supz∈D(1-|z|2)|Jf(z)|<∞。(1) 若f是解析函數, 則稱f為Bloch函數, 記為B 若f是調和函數, 則稱f為Bloch型函數, 記為BH。更多相關B,BH的信息可參考文獻[810]。 在參考文獻[5]中,Efraimidis等給出了以下結論。 定理A假設F=H+G在D上單葉且保向, 如果h=log(H′)且ω:D→D是任一解析函數, 那么具有第二復特征ωf=ω的調和映照f=h+g屬于BH。 廈門理工學院學報2020年 第5期李西振,等:調和擬共形Bloch函數的性質 定理B假設f=h+g∈BH是保向的且g∈BA,對0<ε><1, 有="" h(z)="∫z0expεch(ζ)dζ。(2)" 式(2)中:c="β(f)2+β(g)2。若ω:D→D是解析的且滿足‖ω‖h≤1-ε2," 那么具有第二復特征ωf="ω的調和映照F=H+G是單葉的。在此基礎上,文獻[5]給出Bloch型調和映照的系數估計。" 定理c如果映照f="h+g∈BH且保向," 則有="" max{|h(z)|-a0×|g(z)|}≤β(f)1+|c0|1-|c0|r1-r2,|z|="r。(3)" 本文主要研究調和擬共形函數類,="" 即上述式(1)中f為調和擬共形函數的情形,="" 稱之為調和擬共形bloch函數,="" 記為bkh;谝陨戏治,得到如下結論。="" 2主要結論及證明="" 性質1令f="h+g為定義在D上的調和擬共形映照," 若f∈bkh,="" 則有(1)af+bf∈bkh,="" 其中a,b∈r且|a|="">|b|;(2)f φα∈BKH, 其中α∈D,φα=α+z1+αz,z∈D;(3)af+bψ∈BKH, 其中a,b∈C,ψ=h1+g1∈BKH, 且|h′h′1||b|, 易驗證F∈BKH。計算可得JF(z)=|ah′+bg′|2-|ag′+bh′|2=(a2-b2)Jf。由f∈BKH, 可知(1-|z|2)|Jf|<∞, 從而有(1-|z|2)|JF|=(1-|z|2)|a2-b2||Jf|<∞,即af+bf∈BKH成立。 (2)令F=f φα=H+G, 則有(1-|z|2)|JF|=(1-|z|2)1-|α|2(1+αz)2||h′(φα)|2-|g′(φα)|2|=(1-|φα(z)|2)|Jf(φα)|<∞。從而有F∈BKH,即f φα∈BKH。 (3)令F=af+bψ=(ah+bh1)+(ag+bg1), 則有Fz=ah′+bh′1,Fz=ag′+bg′1,且有|JF|=||Fz|2-|Fz|2|=|(ah′+bh′1)(ah′+bh′1)-(ag′+bg′1)(ag′+bg′1)|=||a|2||h|2+abh′h′1+bah′h′1+|b|2|h1|2-(|a|2|g′|2+abg′g′1+bag′g′1+|b|2|g′1|2|)≤|a2|Jf+|b2|Jψ+2|ab||h′h′1|≤|a|2Jf+|b|2Jψ+2|ab|M。 從而有(1-|z|2)|JF|≤(1-|z|2)|a|2Jf+|b|2Jψ+2|ab|M<∞。 定理1設F=H+G為D上的單葉保向調和函數, 令h=log(H′), 則有調和K擬共形映照f=h+g∈BKH。 證明令α∈D, 定義 Φ(z)=Fα+z1+αz-F(α)(1-|α|2)H′(α)。(4) 可知Φ(z)在D上單葉調和, 且滿足Φ(0)=0,Φz(0)=1, 因此,它的級數展開式第二項的系數a2滿足|a2(α)|有界, 以及a2(α)=(1-|α|2)H″(α)2H′(α)-α。從而有h′=H″H′=2a2(α)+α1-|α|2,則可得(1-|α|2)|Jf|≤(1-|α|2)|h′|=(1-|α|2)H″H′=2|a2(α)+α|<∞,所以有f=h+g∈BKH。 定理D令f=h+g為單位圓盤D上的保向調和函數, 其復伸張為ω, 如果對于所有的z∈D, 有|zPf(z)|+|zω′(z)|1-|ω(z)|2≤11-|z|2成立, 則函數f為單葉函數, 其中Pf=H″H′-ωω′1-|ω|2為f的PreSchwarz導數[11]。 假設函數ω:D→D解析, 定義ω(z)=ω′(z)(1-|z|2)1-|ω|2為它的雙曲偏導數,‖ω‖h=supz∈D|ω(z)|為它的雙曲范數[12]。 定理2假設f=h+g∈BKH為調和K擬共形映照, 對0<ε><1, 令="" h(z)="∫z0expεch(ζ)dζ。(5)" 式(5)中:c="β(f)(K+1)K。如果ω:D→D解析," 且滿足‖ω‖h≤1-ε2,="" 則以ω為復伸張的函數f="H+G在D上是單葉的。" 證明由f∈bkh可得(1-|z|2)jf="(1-|z|2)|h′|1-|ωf|2≤β(f)," 從而有|h′|≤β(f)(1-|z|2)1-|ωf|2≤β(f)(k+1)(1-|z|2)k≤c1-|z|2,故可得h″h′="εc|h′|≤ε1-|z|2,又|ω′(z)|1-|ω(z)|2≤‖ω‖h1-|z|2≤1-ε2(1-|z|2),計算可得|zPF(z)|+|zω′F(z)|1-|ωF(z)|2≤H″H′+2|ω′(z)|1-|ω(z)|2≤11-|z|2。應用定理D可得F在D上是單葉的。" 定理3設f="h+g為單位圓盤D上的一個調和K擬共形映照," 若h∈b,則有f∈bkh。="" 證明由h∈b可知(1-|z|2)|h′|<∞,="" 則有(1-|z|2)|jf|="(1-|z|2)||fz|2-|fz|2|=(1-|z|2)|h′||1-|ωf|2|≤(1-|z|2)|h′|<∞,可得f∈BKH。" 定理4假設f="h+g∈BKH為單位圓盤D到自身的調和K擬共形映照," 則有="" 1-|f(z)|2k≤β(f)≤k+12,z∈d。(6)="" 證明該定理之前,需要下面一個引理(見參考文獻[13])。="" 引理a設f="h+g為單位圓盤D到自身的調和K擬共形映照," 則z∈d有="" 1+k2k1-|f(z)|21-|z|2≤|fz(z)|≤k+121-|f(z)|21-|z|2="" 。(7)="" 證明應用引理a可得="" β(f)="supz∈D(1-|z|2)|Jf|=supz∈D(1-|z|2)|fz|1-|ωf|2≤supz∈D(1-|z|2)|fz|≤" supz∈d(1-|z|2)k+121-|f(z)|21-|z|2="supz∈DK+121-|f(z)|2≤K+12。(8)" 結合β(f)的定義,應用引理a可知="" supz∈d(1-|z|2)1-|k-1k+1|2="" 1+k2k·1-|f(z)|21-|z|2≥1-|f(z)|2k。(9)="">
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