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                《廈門理工學院學報》  2020年第5期 89-92   出版日期:2020-10-30   ISSN:1673-4432   CN:35-1289/Z
                關于曲線和曲面積分的換元法


                定積分換元法、二重積分換元法和三重積分換元法在數學分析中占有重要的地位[13],通過換元法,可以把復雜的積分問題轉化為簡單的積分問題。文獻[4]研究了不定積分的第二換元法,給出三角變換、根式變換、倒變換和指數變換相關的例子。文獻[5]研究了不定積分第二換元法的一題多解的相關內容。文獻[6]則研究了二重積分的一題多解的相關內容。但是關于曲線積分和曲面積分的換元法卻鮮有文獻探討。本文采用直角坐標到一般坐標的坐標變換,應用一階微分運算和微分幾何外微分的方法分別提出曲線積分換元法和在三重積分換元方法下的曲面積分換元法。 1曲線和曲面積分問題的提出 在計算二重積分運算時,當空間區域D在直角坐標系下體現為圓形、環形或者扇形時,可以將直角坐標的二重積分轉換為極坐標的二重積分,即 Df(x,y)dxdy=D′f(rcos θ,rsin θ)rdrdθ。(1) 式(1)中:D′是積分區域D在極坐標下對應的區域。直角坐標到極坐標是最常用、最經典的坐標變換。對應于一般的坐標變換x=x(ξ,η)y=y(ξ,η),對應的二重積分換元法為 Df(x,y)dxdy=D′f(x(ξ,η),y(ξ,η))D(x,y)D(ξ,η)dξdη。(2) 式(2)中:D(x,y)D(ξ,η)為坐標變換所對應的雅可比行列式。對應于三維空間,同樣有坐標變換x=x(ξ,η,ζ)y=y(ξ,η,ζ),z=z(ξ,η,ζ)對應的三重積分換元法為 Df(x,y,z)dxdydz=D′h(ξ,η,ζ)D(x,y,z)D(ξ,η,ζ)dξdηdζ。(3) 式(3)中:D(x,y,z)D(ξ,η,ζ)為坐標變換所對應的雅可比行列式,且有h(ξ,η,ζ)=f(x(ξ,η,ζ),y(ξ,η,ζ),z(ξ,η,ζ))。除牛頓萊布尼茨公式外,微積分研究領域常用的重要公式有格林公式和奧高公式。格林公式[1]169為 ∮Dp(x,y)dx+q(x,y)dy=Dqx-pydxdy。(4) 式(4)中:p(x,y),q(x,y)及其偏導數在平面區域D上連續, 其邊界D由光滑或者分段光滑的平面簡單閉曲線組成,定向為正向。相應地,奧高公式為 Ωpdydz+qdzdy+rdxdy=Ωpx+qy+rzdxdydz。(5) 式(5)中:Ω為空間閉區域,其邊界Ω是光滑或者分段光滑的有向閉曲面,且取其外側。 針對以上坐標變換,本文提出以下兩個問題:一是在坐標變換(2)下,格林公式的右側可以應用二重積分換元公式(3),那么公式左側的曲線積分如何變換;二是在坐標變換(4)下,奧高公式的右側可以應用三重積分換元公式(5),那么公式左側的曲面積分如何變換。以下將著重解決這兩個問題。 廈門理工學院學報2020年 第5期詹華稅:關于曲線和曲面積分的換元法 2曲線積分的換元法 為解決第一個問題,根據1階微分形式的運算公式dx=xξdξ+xηdη, dy=yξdξ+yηdη,有 ∮Dpdx+qdy=∮D′pxξ+qyξdξ+pxη+qyηdη。(6) 式(6)中:D′取的方向為對應于D正向的方向。 以上方法解決了曲線積分的換元法問題。 3曲面積分的換元法 3.1曲面積分換元法初步討論 首先看一下是否可以利用一階微分形式的運算公式來解決曲面積分換元的問題。對應于坐標變換(3),利用dx=xξdξ+xηdη+xζdζ,dy=yξdξ+yηdη+yζdζ,dz=zξdξ+zηdη+zζdζ,則有dydz=yξdξ+yηdη+yζdζzξdξ+zηdη+zζdζ=yξ zξdξdξ+yη zηdηdη+yζ zζdζdζ+yξ zη+zξ yηdξdη+yζ zη+zζ yηdζdη+yξ zζ+zξ yζdξdζ,這時Ωrdydz=Ω′ryξ zξdξdξ+yη zηdξdξ+yζ zζdζdζ+Ω′ryξ zζ+zξ yζ+dξdζ+Ω′ryξ zη+zξ yη+dξdη+Ω′ryζ zη +zζ yη dζdη,顯然是沒有意義的。因此,解決問題2仍須另想辦法。在以下討論中,將采用微分幾何的外微分方法來解決此問題。 3.2外微分的定義和運算法則 設M是n維光滑流形,對任意點p∈M,Tp和Tp分別是它的切空間和余切空間。 外矢量叢和外形式叢分別定義為Λr(M)=∪p∈MΛr(Tp),Λr(M)=∪p∈MΛr(Tp)。若r=1,則分別對應為切叢和余切叢。切叢的截面就是M的切矢量場,余切叢的截面稱為M的一次外微分式。一般地,用Ar(M)記r次外形式叢Λr(M)的光滑截面所成的空間,即 Ar(M)=Γ(Λr(M))。(7) 式(7)表示一個C∞(M)模。Ar(M)的元素稱為M上的r次外微分式,也就是說,流形M上的r次外微分式為光滑的反對稱r階協變張量場。A(M)外微分式空間定義為A(M)=∑∞r=0Ar(M)。眾所周知,A(M)是一列矢量空間的直和,并且可以定義外積運算Λ:Ar(M)×As(M)→Ar+s(M),其中當r+s>n時,規定Ar+s(M)為零。 外微分式空間之所以在流形論中十分重要,原因就是A(M)中有外微分運算d,而且2次外微分運算結果為零。 引理1設M是n維光滑流形,則存在唯一的一個映射d:A(M)→A(M),使得d(Ar(M))Ar+1(M),滿足系列條件: (1)對任意的ω1,ω2∈A(M),d(ω1+ω2)=dω1+dω2; (2)設ω1是r次外微分式,則 d(ω1Λω2)=dω1Λω2+(-1)rω1Λdω2;(8) (3)若f是M上的光滑函數,即f∈A0(M),則df恰是f的微分; (4)若f∈A0(M),則d(df)=0。 引理1的證明可參見參考文獻[2]。如上所確定的映射d稱為外微分。把流形的局部性質和整體性質聯系起來的最簡單的方式是利用由外微分形式運算而建立起來的流形上的積分理論。 定義1設M是n維光滑流形,如果在M上存在一個連續的,處處不為零的n次外微分式,則稱M是可定向的。如果給出M的定向的兩個外微分式彼此差一個處處為正的函數因子,則稱它們規定了M的同一個定向。 據此定義,連通的可定向流形恰有兩個不同的定向。不可定向的流形則存在一個二重的可定向覆蓋映射。設流形M是由外微分式ω定向的, (Uui)是M的任一個局部坐標系, 則du1Λdu2Λ…Λdun與ωU差一個處處不為零的因子。如果這個因子是正的,則稱 (Uui)是與M定向相符的一個坐標系。顯然,在定向流形上可取定向相符的坐標覆蓋,對于任意兩個相交的坐標域,坐標變換的雅可比行列式處處取正值。 據此定義和理論,通過單位分解定理,便可以建立流形上的理論,詳細內容見參考文獻[2]。 3.3曲面積分的換元法 根據上文外微分式積分理論,奧高公式可重新寫為 ΩpdyΛdz+qdzΛdy+rdxΛdy=Ωpx+qy+rzdxΛdyΛdz。(9) 根據式(8)可知dξΛdξ=dηΛdη=dζΛdζ=0,于是dyΛdz=yξdξ+yηdη+yζdζΛzξdξ+zηdη+zζdζ=yξ zξdξΛdξ+yη zηdηΛdη+yζ zζdζΛdζ+yξ zη-zξ yηdξΛdη+zζ yη-yζ zηdηΛdζ+zξ yζ-yξ zζdζΛdξ=yξ zη-zξ yηdξΛdη+zζ yη-yζ zηdηΛdζ+zζ yζ-yζ zζdζΛdξ。 由此,在坐標變換(3)下,對應的曲面積分變換公式為 S2=ΩrdyΛdz=Ω′ryξ zη-zξ yηdξΛdη+Ω′rzζ yη-yζ zηdηΛdζ+Ω′rzξ yζ-yξ zζdζΛdξ, S1=ΩpdxΛdy=Ω′pxξ yη-yξ xηdξΛdη+Ω′pyζ xη-xζ yηdηΛdζ+Ω′pyξ xζ-xξ yζdζΛdξ, S3=ΩqdzΛdx=Ω′qzξ xη-xξ zηdξΛdη+Ω′qxζ zη-zζ xηdηΛdζ+Ω′qxξ zζ-zξ xζdζΛdξ。若記p1(ξ,η,ζ)=px(x(ξ,η,ζ),y(ξ,η,ζ),z(ξ,η,ζ)),q1(ξ,η,ζ)=qy(x(ξ,η,ζ),y(ξ,η,ζ),z(ξ,η,ζ)),r1(ξ,η,ζ)=rz(x(ξ,η,ζ),y(ξ,η,ζ),z(ξ,η,ζ)),則在坐標變換式(2)下,奧高公式變為S1+S2+S3=(p1+q1+r1)D(x,y,z)D(ξ,η,ζ)dξΛdηΛdζ。其中,dξΛdη=dξdη,dξΛdηΛdζ=dξdηdζ。其他以此類推。 4結論 本文針對坐標變換中出現的曲線和曲面積分問題,應用一階微分運算和微分幾何外微分的方法分別提出曲線積分換元法和在三重積分換元方法下的曲面積分換元法。結果表明,提出的換元法可有效解決相應問題,簡化曲線和曲面積分的計算過程,從而進一步完善了經典數學分析中有關積分理論的研究。
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